1、1 绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。图1.1一级倒立摆装置简图由图1.1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动
2、的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。控制方法也是多种，可以通过模糊
3、控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。1.2倒立摆的控制规律当前，倒立摆的控制规律可总结如下:（1）状态反馈控制1，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和Kalnian滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。（2）利用云模型2-3实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换
4、到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。（3）神经网络控制，已经得到证明，神经网缴（NeuralN etwork NN)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性;也可将Q学习算法4和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。（4）遗传算法(Genetic Algorithms, GA)，高晓智a在Michine的倒立摆控制Boxes方案的基础上，利用GA对每个BOX中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题。（5）
5、自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。（6）模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。（7）使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。（8）采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA学习的NN控制器兼有NN的广泛映射能力和GA快速收敛以及增强式学习等性能。1.3对倒立摆系统研究的意义倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的典型物理模型。通过对它的研究不仅可以解决
6、控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有机的终合应用。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高新技术的研究具有重要的实践意义。4目前，对倒立摆的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控领域研究的热门课题之一。在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行
7、性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以及跟踪问题等。倒立摆的典型性在于作为一个装置，成本低廉，结构简单，形象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制;作为一个被控对象，又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳
8、定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫早发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属这类问题。因此付倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。1.4倒立摆的发展状况倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，
9、设计模拟控制器。国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的称定。随着微机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的租定。此外，由于智能控制理论的兴起，相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定5。早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。直到70年代初，用状态反馈
10、理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广范的研究5-7，虽然在许多方面都取得了较满意的效果，但其控制方法过多的依赖于线性化后的数学模型，故对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能力，并且用模糊控制理论控制一级倒立摆取得了非常满意的效果，由于模糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用适合的方法处理二级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制二级倒立摆的中心问题之一。清华大学的张乃尧先生等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见
11、的模糊控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的控制器。当控制器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数指数增加，不仅使模糊控制器的设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。张乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好的解决了上述问题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对其他模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。作者拟通过传统的控布鲤论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优和重复试验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数;采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更
12、为细腻。神经网络控制倒立摆的研究，自90年代初开始得以快速的发展。而早在1963年，Widrow和Smith就开始将神经网络应用于倒摆小车系统的控制。神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨大的潜力。今天有许多学者正致力于引用神经网络控制一级或二级倒立摆的研究。另外还有许多其他的控制方法用于倒立摆的控制。近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等都存在有类似于倒摆的稳定控制问题.倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆系统。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，
13、倒摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)。早在60年代，人们就开始了对倒立摆系统控制的研究。1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来。人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力。因而受到了普遍的重视。2倒立摆系统数学模型的建立2.1系统的物理模型如图2.1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角（即摆杆与竖直线的夹角）为，作用在小
14、车上的水平控制力为f。这样，整个倒立摆系统就受到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。图2.1 一级倒立摆物理模型2.2系统的微分方程在系统数学模型中,本文首先假设: (1)摆杆为刚体;(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦;(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。然后根据牛顿第二运动定律,求得系统的运动方程为: (2.2) (2.3)首先对该模型进行线性化。原因如下：（1）目前，许多非线性模型都能在适当的情况下近似线性化；（2）对于非线性模型，目前还没有确定的一般性的分析方法；那么，如何进行线性化呢？可以通过如下的结论倒立振子的垂直倾斜角度同1弧度相比的话，那么sin cos方程2.2、2.3是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定很小，接近于零是合理的。则sin，cos.在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型如下： (2.4) (2.5) 2.3系统的状态空间方程以摆角,角速度,小车的位移,速度为状态变量,输出为。即令: 则一级倒立摆系统的状态方程为： ； (2.6) ； (2.7) ； (2.8) ； (2.9)即 （2.10） 0f （2.11）将上式改写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程
